Аксиомы Пеано
May. 15th, 2009 02:15 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
xen0n
Аксиомы Пеано.
Все знают, что 2*2=4. А почему 4?? Ну то есть в примере "на яблоках" то вроде как 4, и с лимонами та же хрень, но вот как это в общем случае-то убедиться, что всегда 2*2=4? Это (для натуральных чисел) аксиомы Пеано и выводят.
Формально - по ссылке все описано. А если своими словами - возведение в степень можно представить как ряд умножений, а каждое умножение - как сложения (3*4 = 3+3+3+3). Дальше каждое число можно представить как набор из единиц, то есть 3 = 1+1+1. А дальше - небольшой трюк. Через задницу, так что очень красиво. Мы привыкли что 3+1=4, но на самом деле - наоборот. 4 это 3+1. (обратное тоже верно, но первично именно это). 3+1 (из аксиом Пеано) чему-то равно. Существует некоторое число которое идет за тройкой. Вот это число мы и назовем четверкой и обозначим на бумаге как "4".
Очень красиво.
И, кстати, это мне кажется очередным случаем (как и Критерий Поппера) когда в школе все учится "задом наперед". Вместо того чтобы научиться складывать и "открыть" четверку (как это и есть в современной формальной математике), мы вначале зазубриваем всю таблицу умножения, но не понимаем почему это именно так, откуда это следует. Конечно, в первом классе этого не объяснить, но вот в старших классах на мой взгляд уже можно вводить отдельные предметы типа "математика заново и теперь уже как надо" (с аксиомами Пеано), "история заново и теперь уже как надо" (чтобы не только знать год рождения Петра Первого, но и знать, почему мы считаем, что он родился именно тогда, а не позже-раньше, и как опровергнуть утверждение в стиле Фоменко, что на самом деле Петр Первый - это Иван Калита)
Все знают, что 2*2=4. А почему 4?? Ну то есть в примере "на яблоках" то вроде как 4, и с лимонами та же хрень, но вот как это в общем случае-то убедиться, что всегда 2*2=4? Это (для натуральных чисел) аксиомы Пеано и выводят.
Формально - по ссылке все описано. А если своими словами - возведение в степень можно представить как ряд умножений, а каждое умножение - как сложения (3*4 = 3+3+3+3). Дальше каждое число можно представить как набор из единиц, то есть 3 = 1+1+1. А дальше - небольшой трюк. Через задницу, так что очень красиво. Мы привыкли что 3+1=4, но на самом деле - наоборот. 4 это 3+1. (обратное тоже верно, но первично именно это). 3+1 (из аксиом Пеано) чему-то равно. Существует некоторое число которое идет за тройкой. Вот это число мы и назовем четверкой и обозначим на бумаге как "4".
Очень красиво.
И, кстати, это мне кажется очередным случаем (как и Критерий Поппера) когда в школе все учится "задом наперед". Вместо того чтобы научиться складывать и "открыть" четверку (как это и есть в современной формальной математике), мы вначале зазубриваем всю таблицу умножения, но не понимаем почему это именно так, откуда это следует. Конечно, в первом классе этого не объяснить, но вот в старших классах на мой взгляд уже можно вводить отдельные предметы типа "математика заново и теперь уже как надо" (с аксиомами Пеано), "история заново и теперь уже как надо" (чтобы не только знать год рождения Петра Первого, но и знать, почему мы считаем, что он родился именно тогда, а не позже-раньше, и как опровергнуть утверждение в стиле Фоменко, что на самом деле Петр Первый - это Иван Калита)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2009-05-14 07:32 pm (UTC)ты действительно не понимал этого в детстве, когда учил таблицу умножения?!
а как по-другому это все запомнить-то можно? -)))
ну то есть, конечно, я не считала каждый раз путем сложения, сколько будет шестью восемь - но заучивала именно так. и подспудно оно всегда так и было -)
зачаруй меня обратно! -)))
no subject
Date: 2009-05-14 07:56 pm (UTC)то что 3*2=2+2+2 я понимал
и то что 2+2=2+1+1 я тоже понимал
а вот почему 2+1=3 я не _понимал_. Я _верил_ в это.
А сейчас я это понимаю.
Вот то что ты как-то в уме умудряешься считать и получать верные количества "яблок" - это "магия", но не математика.
А математика - это строчки. Каждая строчка - это некоторое преобразование предыдущей строчки в соответствии с некоторой базой аксиом.
Ну это как число Пи - можно зазубрить его до сотого знака, но ты не будешь знать сто первый знак, и не будешь уверена, что твои знания верны, и что у тебя нет ошибки в 42ом знаке после запятой. А можно понять четкую схему его вывода, и тогда когда у тебя есть _понимание_.
А вообще забавно - вот этот вот дядька Пеано жил 1858—1932 годах. Складывать яблоки и до него умели, и глубина понимания натуральных чисел не позволяет из 2+2 яблок сделать 5. Их всегда получалось 4 и всегда будет получаться 4. Но вот до этого, арифметика даже была на уровне современного психоанализа (большая машина - ага, значит маленький член. ходит до 40 лет постоянно в качалку - ага, значит в детстве много обижали). Некий набор "мифов" без доказательств. Как из психоанализа не следует, что все люди с маленькими членами покупают себе большие машины, так и из той математики до Пеано не следовало что 2+2 _всегда_ будет 4. Просто проверили три тыщщи миллионов раз на яблоках - вроде все сходилось пока что. Почему - никто не понимал ;-)
no subject
Date: 2009-05-15 06:10 am (UTC)no subject
Date: 2009-05-15 06:40 am (UTC)хотя конечно есть вариант сначала доступно на яблоках и жирафах попытаться им объяснить схему построения наук (в том числе и математики) но мне кажется, что не стоит это того - второклашки это до 7го класса будут усваивать, а в ВУЗе это можно за неделю-месяц преподать.
Но вот про первый курс - я за. Я ж не доучился, на 2ом курсе бросил, когда понял что заработать на хлеб насущный кусочек мармелада я и сам могу без корочек, а ничего интересного мне там не преподают. А вот как раз поппер и пеано - оказались очень интересными именно своей важностью и фундаментальностью. да еще и в сочетании с простотой (ну раз я, неуч, без всякой палки сам их легко постиг чисто из любопытства и в свободное время).
На мой взгляд величайший "грех" науки, что она становится чем-то типа религии. То есть имеет армию "зомби" которые _верят_ в науку но не понимают ее, не знают что это такое (хотя "яблоки считают" правильно). И только относительно небольшая группа посвященных жрецов обладает сакральными знаниями о том почему же 2+2 равно именно четырем.
Хотя наверное надо в старших классах это делать, а не на первом курсе, чтобы старшеклассник, делая выбор идти ли ему в ВУЗ или же в ПТУ - знал что такое ВУЗ, и что такое наука, которую там преподают. А сейчас он этот выбор делает по принципу "христианство - фигня, буддизм - фигня, физика - вот правильная религия"